【向量积计算公式】向量积，也称为叉积（Cross Product），是向量运算中的一种重要形式，常用于三维空间中。它主要用于求解两个向量之间的垂直方向，并且可以用来计算面积、体积以及判断向量的相对方向等。
向量积的结果是一个向量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积。
一、向量积的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，其计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
即：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right)
$$
二、向量积的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 3. 数乘结合律 | $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ | ||||||
| 4. 与零向量的关系 | $\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 5. 向量积的模 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中θ为两向量夹角 |
三、向量积的应用场景
| 应用场景 | 说明 | ||
| 1. 计算面积 | 两个向量构成的平行四边形面积为 $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | $ |
| 2. 判断方向 | 通过右手定则判断向量积的方向 | ||
| 3. 物理力学 | 在力矩、角动量等物理问题中广泛应用 | ||
| 4. 计算法向量 | 用于计算机图形学中计算平面的法线方向 |
四、向量积的计算示例
已知向量 a = (2, 3, 1)，b = (4, 5, 6)，求 a × b。
根据公式：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{pmatrix}
(3×6 - 1×5) \\
(1×4 - 2×6) \\
(2×5 - 3×4) \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
18 - 5 \\
4 - 12 \\
10 - 12 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
13 \\
-8 \\
-2 \\
\end{pmatrix}
$$
所以，a × b = (13, -8, -2)。
五、总结
向量积是向量代数中的重要内容，具有明确的计算公式和丰富的应用价值。通过掌握其基本公式和性质，能够更高效地解决几何、物理及工程中的相关问题。同时，合理运用向量积可以帮助我们理解空间结构和向量关系，提升对三维空间的理解能力。