【向量叉乘公式】在三维几何与物理中，向量叉乘（Cross Product）是一个重要的运算，常用于计算两个向量之间的垂直向量、面积、力矩等。叉乘的结果是一个向量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。
一、向量叉乘的基本概念
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘记作 a × b，结果为一个向量，记为 c = (c₁, c₂, c₃)。
叉乘的定义如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、叉乘的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||||
| 运算结果 | 向量，方向垂直于两个原始向量所在的平面 | ||||||
| 大小 | a × b | = | a | b | sinθ，其中 θ 是两向量夹角 | ||
| 方向 | 由右手定则决定：四指从 a 指向 b，拇指方向即为叉乘方向 | ||||||
| 交换律 | 不满足：a × b ≠ b × a，而是 a × b = -b × a | ||||||
| 分配律 | 满足：a × (b + c) = a × b + a × c | ||||||
| 结合律 | 不满足：(a × b) × c ≠ a × (b × c) | ||||||
| 零向量 | 若 a 与 b 共线，则 a × b = 0 |
三、叉乘公式的实际应用
叉乘在多个领域有广泛应用，包括但不限于：
- 物理学：计算力矩、磁力、角动量等；
- 计算机图形学：判断物体法线方向、计算光照效果；
- 工程力学：分析结构受力情况；
- 数学：求解平面方程、空间几何问题。
四、叉乘公式表格对比
| 向量 a | 向量 b | 叉乘结果 a × b |
| (1, 2, 3) | (4, 5, 6) | (-3, 6, -3) |
| (0, 1, 0) | (1, 0, 0) | (0, 0, -1) |
| (2, -1, 3) | (4, 5, -2) | (13, 16, 14) |
| (5, 0, 0) | (0, 5, 0) | (0, 0, 25) |
五、总结
向量叉乘是三维向量运算中的重要工具，能够帮助我们快速得到垂直于两个向量的方向和大小。理解其公式和性质，有助于在物理、工程和计算机科学中更高效地解决问题。通过表格形式展示不同向量组合的叉乘结果，可以直观地帮助学习者掌握这一运算的应用方法。