【向量的叉乘公式是什么】在向量运算中，叉乘（Cross Product）是一种重要的运算方式，主要用于三维空间中的向量相乘。它与点乘不同，结果不是标量，而是一个新的向量，该向量的方向垂直于原来的两个向量所构成的平面。叉乘在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用。
一、叉乘的基本定义
设两个三维向量为：
$$
\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle,\quad \vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle
$$
它们的叉乘结果记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，其计算公式为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \rangle
$$
也可以用行列式的方式表示为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
其中，$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 是单位向量，分别对应 x、y、z 轴方向。
二、叉乘的性质总结
| 属性 | 内容 | ||||||
| 结果类型 | 向量 | ||||||
| 方向 | 垂直于原两向量所在的平面，遵循右手定则 | ||||||
| 模长 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角 | |
| 交换律 | 不满足：$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | ||||||
| 分配律 | 满足：$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | ||||||
| 零向量情况 | 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ |
三、叉乘的实际应用
- 物理：如力矩、磁力等。
- 计算机图形学：用于计算法向量、判断物体朝向。
- 几何：确定两个向量之间的垂直关系。
四、示例计算
假设 $\vec{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$，$\vec{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle$，则：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) - \mathbf{j}(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)
$$
$$
= \mathbf{i}(12 - 15) - \mathbf{j}(6 - 12) + \mathbf{k}(5 - 8)
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} -3\mathbf{k}
$$
即：$\vec{a} \times \vec{b} = \langle -3, 6, -3 \rangle$
五、总结
叉乘是向量运算中一种非常重要的工具，能够生成一个与原向量垂直的新向量，具有明确的方向和大小。通过上述公式和性质，我们可以更深入地理解其数学意义和实际应用。掌握叉乘的计算方法和特性，有助于在多个领域中解决实际问题。