【向量积公式】在向量运算中，向量积（也称为叉积或矢量积）是一种重要的数学工具，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量积的结果是一个与原两个向量都垂直的向量，其方向由右手定则决定，大小则与两向量夹角的正弦值成正比。
下面是对向量积公式的总结，并通过表格形式展示其关键信息。
一、向量积的基本概念
向量积是两个三维向量之间的运算，记作 a × b，其结果是一个向量，该向量的方向垂直于原来的两个向量所在的平面，其大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。
二、向量积的公式
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、向量积的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 与标量相乘 | $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ |
| 零向量 | 如果 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ |
四、向量积的应用
- 计算面积：两个向量的模长乘积的正弦值即为它们所形成平行四边形的面积。
- 确定法线方向：在计算机图形学中，用于计算表面的法线方向。
- 物理应用：如力矩、磁力等，均涉及向量积的计算。
五、总结
向量积是向量代数中的重要运算之一，具有明确的几何意义和丰富的物理背景。掌握其公式与性质，有助于在多个学科领域中进行有效的分析与计算。
表格总结：
| 项目 | 内容 | ||||||
| 定义 | 向量积是两个向量的乘积，结果为一个垂直于原向量的向量 | ||||||
| 公式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | ||||||
| 方向 | 垂直于原两向量所在的平面，符合右手定则 | ||||||
| 大小 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$ | |
| 应用 | 面积计算、法线方向、物理力学等 |
通过以上内容，可以更清晰地理解向量积的定义、公式及其实际应用，帮助在学习和工作中灵活运用这一数学工具。