【arcsinx的平方导数是多少】在微积分中，求函数的导数是常见的问题。对于函数 $ (\arcsin x)^2 $，其导数可以通过链式法则进行计算。以下是对该函数导数的详细分析与总结。
一、函数解析
函数为：
$$
f(x) = (\arcsin x)^2
$$
这是一个复合函数，外层是平方函数，内层是反正弦函数 $ \arcsin x $。
二、导数计算过程
根据链式法则，设：
- 外层函数为 $ u^2 $
- 内层函数为 $ u = \arcsin x $
则：
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin x)^2 = 2 \cdot \arcsin x \cdot \frac{d}{dx}(\arcsin x)
$$
而 $ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，因此：
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin x)^2 = 2 \arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
三、结果总结
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = (\arcsin x)^2 $ | $ f'(x) = \frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
四、注意事项
- 定义域为 $ x \in [-1, 1] $，因为 $ \arcsin x $ 的定义域是这个区间。
- 导数在 $ x = \pm 1 $ 处不连续，因为在这些点上分母为零。
- 若需进一步简化或应用，可根据具体问题进行调整。
通过以上分析可以看出，$ (\arcsin x)^2 $ 的导数是一个结合了反三角函数和幂函数的复合导数，理解其结构有助于更深入地掌握微积分中的链式法则应用。