【平面向量的所有公式归纳】在高中数学中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅与几何密切相关，也广泛应用于物理、工程等领域。为了帮助大家更好地掌握和复习平面向量的相关知识，本文将对平面向量的基本概念及常用公式进行系统归纳总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
| 概念 | 说明 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。 |
| 零向量 | 长度为0的向量，方向不确定。 |
| 单位向量 | 长度为1的向量。 |
| 相等向量 | 方向相同且长度相等的向量。 |
| 相反向量 | 方向相反但长度相等的向量。 |
| 平行向量 | 方向相同或相反的向量（也称为共线向量）。 |
二、向量的表示方式
| 表示方式 | 说明 |
| 几何表示 | 用有向线段表示，如 $\vec{AB}$ |
| 坐标表示 | 若点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则 $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ |
| 符号表示 | 一般用 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 等表示向量 |
三、向量的运算
1. 向量加法
- 定义：若 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
$$
- 性质：
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
2. 向量减法
- 定义：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$
- 坐标表示：
$$
\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)
$$
3. 向量数乘
- 定义：设 $\lambda$ 为实数，$\vec{a} = (x, y)$，则：
$$
\lambda \vec{a} = (\lambda x, \lambda y)
$$
- 性质：
- $\lambda(\mu \vec{a}) = (\lambda \mu)\vec{a}$
- $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$
- $\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$
四、向量的模长与单位向量
| 公式 | 说明 | ||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $\vec{a} = (x, y)$ |
| 单位向量 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$（当 $\vec{a} \neq \vec{0}$） |
五、向量的夹角与数量积
| 公式 | 说明 | ||||
| 数量积（点积） | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角 | |
| 坐标表示 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ | ||||
| 夹角公式 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ |
六、向量的投影
| 公式 | 说明 | ||
| 投影长度 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ |
| 投影向量 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b}$ |
七、向量的垂直与平行
| 条件 | 说明 |
| 垂直 | $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
| 平行 | $\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda \vec{b}$（$\lambda$ 为常数） |
八、向量的线性组合与基底
| 概念 | 说明 |
| 线性组合 | $\vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$，其中 $\lambda$、$\mu$ 为实数 |
| 基底 | 在平面中，若 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 不共线，则它们可以作为一组基底，任何向量均可表示为它们的线性组合 |
九、向量的坐标表示与运算总结
| 运算 | 公式 |
| 加法 | $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ |
| 减法 | $(x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ |
| 数乘 | $(\lambda x, \lambda y)$ |
| 点积 | $x_1x_2 + y_1y_2$ |
| 模长 | $\sqrt{x^2 + y^2}$ |
| 单位向量 | $\left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)$ |
通过以上内容的归纳整理，我们可以更清晰地理解平面向量的基本概念和运算方法。掌握这些公式不仅能帮助我们在考试中取得好成绩，也能为后续学习解析几何、微积分等课程打下坚实的基础。