【相关系数r的第二个公式】在统计学中，相关系数（r）是衡量两个变量之间线性关系强度和方向的一个重要指标。通常，我们最常接触到的相关系数公式是基于协方差与标准差的比值，即：
$$ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} $$
然而，还有一种等价但形式不同的表达方式，称为“相关系数r的第二个公式”，它通过原始数据的乘积和平方和来计算，适用于手算或教学场景。
一、相关系数r的第二个公式推导
设两组变量分别为 $ X = (x_1, x_2, ..., x_n) $ 和 $ Y = (y_1, y_2, ..., y_n) $，则相关系数r的第二个公式为：
$$
r = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{\sqrt{[n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}}
$$
该公式不依赖于均值和标准差，而是直接利用原始数据的总和和乘积，便于手动计算。
二、总结对比
| 项目 | 第一个公式（标准公式） | 第二个公式（简化计算公式） |
| 公式形式 | $ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} $ | $ r = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{\sqrt{[n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}} $ |
| 适用场景 | 理论分析、软件计算 | 手动计算、教学演示 |
| 数据需求 | 需要均值、标准差 | 只需原始数据的总和与乘积 |
| 计算复杂度 | 较高（涉及协方差） | 较低（仅需求和运算） |
三、使用建议
- 第一个公式更适用于理论研究和编程实现，尤其在处理大数据集时效率更高。
- 第二个公式更适合教学场合或小样本数据的手工计算，有助于理解相关系数的本质。
四、示例说明（简化版）
假设我们有以下两组数据：
| i | x_i | y_i | x_i y_i | x_i² | y_i² |
| 1 | 2 | 3 | 6 | 4 | 9 |
| 2 | 4 | 5 | 20 | 16 | 25 |
| 3 | 6 | 7 | 42 | 36 | 49 |
| 4 | 8 | 9 | 72 | 64 | 81 |
计算得：
- $ \sum x_i = 20 $
- $ \sum y_i = 24 $
- $ \sum x_i y_i = 140 $
- $ \sum x_i^2 = 120 $
- $ \sum y_i^2 = 164 $
代入第二个公式：
$$
r = \frac{4 \times 140 - 20 \times 24}{\sqrt{[4 \times 120 - 20^2][4 \times 164 - 24^2]}} = \frac{560 - 480}{\sqrt{(480 - 400)(656 - 576)}} = \frac{80}{\sqrt{80 \times 80}} = \frac{80}{80} = 1
$$
这表明变量x和y之间存在完全正相关关系。
五、结语
相关系数r的第二个公式为统计分析提供了另一种实用的计算方式，尤其适合教学和小规模数据分析。掌握这一公式不仅有助于加深对相关性的理解，也能提升实际操作中的灵活性。